yovaner jose ingeniería mecánica grupo B 1

 

 

yovaner jose sierra villalobos nació el 26 de septiembre del 2001 en RIOHACHA la GUAJIRA  hijo de OHANNES JOSE SIERRA PINTO y UDALMIS MARIA VILLALOBOS MARTINEZ  culmino sus estudio segundaria en  el instituto ecológico el carmen en el año 2019 y ejerce sus estudio de ingeniero mecánico en la universidad de la uniguajira  

• UN VIDEO SOBRE LA EXPLICACIÓN DE MI BLOGGER 

https://youtu.be/U1D8wSBj3gk

introducción

el siente blogger trata sobre cierto conocimiento acerca de los límites al momento de hallar el limite de una función de f(x) cuando se aproxima a cierto valor a un punto  y al momento de leer una gráfica donde f(x) se aproxima cada ves más o dar un punto indefinido en ese punto de la función en particular el concepto aplica en analizar al estudiar de limites continuidad y derivabilidad de las funciones reales y que la función f alcance un límite l en un punto c significa que tomando el punto suficientemente próxima a c el valor de f puede ser tan cercano al l como desea la cercanía de los valores de f y l no depende del valor que adquiere f en dicho punto c  

EJEMPLIFICACIÓN DE TAREAS DESDE LOS OBJETIVOS Y LAS COMPETENCIAS

Selecciono a continuación dos objetivos que son significativos de esta unidad didáctica:Objetivo 6: Relacionar y expresar gráficamente límites y asíntotas, encontrando sus ecuaciones.

Para alcanzar este objetivo y contribuir al desarrollo de las competencias de “Lenguaje Simbólico” y “Argumentar y justificar” propondría la siguiente tarea

Presento la siguiente tabla de asociación entre dificultades y objetivos

 GRADOS DE COMPLEJIDAD DE LAS TAREAS

Sean p(x)=x2+2x-3 y q(x)=x3+7x2+14x+9:

Si consideramos la función f(x)=q(x)/p(x) ¿En qué puntos no está definida y por qué? Calcula el límite, si existe, en dichos puntos. Compara la gráfica de f(x) con la de su simplificación

RECURSOS Y MATERIALES DIDÁCTICOS

Este recurso permite a parte de representar funciones analizar la caracterización épsilon-delta que tantas dificultades supone al alumnado.

Me puede útil para plantear actividades de ampliación para el alumnado que quiera y pueda ente la  gráfica de la fu

 

GRAFICADOR DE FUNCIONES

Este recurso permite representar varias funciones y está provisto de zoom por lo que es perfecto para mostrar a los alumnos cuándo dos funciones son equivalentes en un punto.

El programa GEOGEBRA se puede utilizar con la misma función que éste

HOJA DE CÁLCULO (Excel)

Este recurso permite tabulares valores de la función dada y es muy útil para estudiar de manera intuitiva el concepto de límite y continuidad en un punto. Puede ser un apoyo importante para el alumnado para entender la idea de aproximación. Como ampliación se puede utilizar para trabajar numéricamente con la caracterización épsilon-delta.

RELACIÓN ENTRE CONTENIDOS Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

 

En el siguiente gráfico muestro la relación entre contenidos y los sistemas de representación que se desarrollaron en la sección 1.3.

Duración aproximada

Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor:

El profesor planteará ejemplos en pizarra para que los alumnos realicen las respectivas tablas de valores y calculen de manera intuitiva límites en puntos dados. Se realizará una tarea de este

Dadas las funciones f(x)=x2+3, g(x)=sen (1/x). Calcular las respectivas tablas de valores y estimar el límite y en caso de que éste no exista, indaga una razón

Las funciones matemáticas se utilizan en otros ámbitos, por ejemplo, para calcular los beneficios o los costes de una empresa, la velocidad o aceleración de un móvil, etc., por lo que es importante conocer el comportamiento de una función.

Por ejemplo, la siguiente función no está definida en x=0$x=0$ ni en x=−1$x=-1$ (porque no se puede dividir entre 0$0$):

n embargo, sí podemos preguntarnos cómo se comporta la función cuando xx se aproxima a 00 o cuando se aproxima a −1−1.  ¿Y si xx crece o decrece indefinidamente? Los límites de la función f nos proporcionan las respuestas.

Además de ayudarnos a visualizar la gráfica de la función, los límites también se utilizan para estudiar otras propiedades, como la continuidad de una función, la diferenciabilidad, etc

Concepto de límite

Dada una función f:R→R$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y un punto x0∈R$x0∈R, el límite de ff cuando xx $

$<i><span\; face="Arial,\; sans-serif"\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; initial;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;"></span></i>$

En un principio, este límite es el valor que toma ff en el punto x0x0, es decir, f(x0)f(x0). Si f(x0)f(x0) no existe (por ejemplo, cuando x0x0 anula el denominador de ff), entonces el límite es el valor al que ff se aproxima cuando xx se aproxima a x0x0.

Por ejemplo, sea la función

tiende a x0$x_0$ se representa como

No existe f(0)$f(0)$, pero cuanto más se aproxima x$x$ a 0$0$, la función crece más y más, como podemos observar en la gráfica: 

or tanto, el límite de ff cuando xx tiende a 00 es infinito

También, podemos predecir el comportamiento de la función cuando xx crece o decrece indefinidamente (cuando xx tiende a ±∞±∞). Cuando esto ocurre, la función f(x)=1/x2f(x)=1/x2 se aproxima cada vez más a 00:

Límites infinitos

Hemos estado hablando, básicamente, de límites en puntos finitos x0∈Rx0∈R, pero también podemos preguntarnos cuál es límite de una función cuando xx crece o decrece indefinidamente, es decir, cuando x→+∞x→+∞ y cuando x→−∞x→−∞.

Por ejemplo, la siguiente función tiende a $8$$/$$5$$8/5$ cuando $x$$x$ tiende a $\pm$$\infty$$\pm \mathrm{\infty }$:

Más adelante, veremos cómo se calculan estos límites.

La gráfica de la función anterior es

Obviamente, no podemos hablar de límites laterales cuando $x$$x$ tiende a infinito.

Reglas básicas

Hasta el momento, no hemos explicado cómo calcular los límites.

1. Lo primero que hacemos para calcular el límite de 

   $f$$f$

   
   
   en el punto $x^{}$${}_0$$x_0$
    es comprobar si se puede calcular 
   $f$$($$x^{}$${}_0$$)$$f(x_0)$
    porque, en este caso, el límite es dicho valor

Es decir, en este caso sólo hay que cambiar las $x$$x$ por $x^{}$${}_0$$x_0$.

1. Nota: en una función definida a trozos, hay que calcular primero los límites laterales en 

   $x^{}$${}_0$$x_0$ si es un punto de cambio de definición.

2. Es importante comprobar que la función está escrita en su mínima expresión.

Por ejemplo, el siguiente límite parece indeterminado (no se puede dividir $0$$0$ entre $0$$0$):

Sin embargo, podemos simplificar la función:

De este modo,

Ahora vamos a ver las reglas que nos permiten calcular los límites cuando sustituimos $x$ por $x_0$. Escribiremos el signo de interrogación "?" para las indeterminaciones, de las cuales hablaremos más adelante.

Sea $K$ un número real distinto de $0$.

Sumar o restar infinito

La resta de infinitos de signo distinto es indeterminado: $\infty -\infty =?$.

Multiplicar por infinito

El producto $0\cdot \infty$ es una indeterminación

El producto de infinitos es infinito. El signo se obtiene por la regla de los signos

Dividir entre cero

El cociente $0/0$ es una indeterminación

Dividir entre infinito

El cociente $\infty /\infty$ es una indeterminación

Elevar a 0

Las potencias ${\infty }^0$ y $0^0$ son indeterminaciones.

Elevar a infinito

La potencia $1^{\infty }$ es una indeterminación

Nota: $0^{\infty }=0$ y ${\infty }^{\infty }=\infty$ no son indeterminaciones.

Indeterminaciones

Las indeterminaciones son las 7 operaciones algebraicas siguientes cuyo resultado no podemos predecir:

Por ejemplo, en los dos siguientes límites aparece la indeterminación cociente de infinitos

El resultado del primer límites es $+\infty$ y el del segundo es $0$.

En el siguiente apartado vemos algunos procedimientos para resolver las indeterminaciones.

Cociente de polinomios

En el límite de un cociente de polinomios $P\left(x\right)/Q\left(x\right)$ suele aparecer un cociente de infinitos ($\infty /\infty$). Escribimos $\delta P$ y $\delta Q$ para referirnos al grado del polinomio $P$ y $Q$, respectivamente:

En el primer caso, el signo del infinito depende de los grados de los polinomios y de sus coeficientes.

En el tercer caso, $p$ es el coeficiente director de $P\left(x\right)$ y $q$ es el de $Q\left(x\right)$.

Calcular los siguientes límites:

En estos límites tenemos que aplicar el criterio de los polinomios. Más exactamente, todos presentan la indeterminación cociente de infinitos y en todos ellos, el grado del numerador es mayor que el del denominador. Por tanto, el resultado de todos los límites es infinito, pero debemos calcular el signo del infinito.

Los coeficientes son positivos y el infinito es negativo. Como el grado del numerador es impar y el del numerador es par, el resultado es negativo (negativo entre positivo):

Indeterminación 1∞

Esta indeterminación aparece, normalmente, en los límites con la forma

donde la función $f\left(x\right)$ tiende a 1 y $h\left(x\right)$ tiende a infinito. El punto $A$ del límite puede ser un punto finito o $\pm \infty$.

En este caso, aplicamos la siguiente fórmula:

                                 Cociente de raíces

Cuando la función está formada por un cociente en el que aparecen raíces, el límite depende del orden de las raíces, al igual que en los cocientes de polinomios.

Suelen aparecer las indeterminaciones resta de infinitos y cociente de infinitos. Normalmente, es suficiente multiplicar y dividir por el conjugado y/o comparar los órdenes de las raíces y grados de las $x$.

Fórmulas que pueden ayudar (para resta de infinitos):

El grado del numerador es 1 porque tenemos la raíz cúbica de un polinomio de grado 3. El del denominador es 1 porque tenemos la raíz cuadrada de un cuadrado. Por tanto, el límite es el cociente de los coeficientes principales

Gráfica de la función:

                       Comparación de funciones

Muchas veces, es fácil calcular el límite de una función simplemente comparando las funciones que conforman la propia función.

Por ejemplo, el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$ de la función $x^5-x^2$ es $\infty -\infty$. Sin embargo, como $x^5$ crece más rápido que la función $x^2$, el límite es $+\infty$. Dicho de otra forma, el orden del infinito del límite de la primera función es mayor que el de la segunda, así que el resultado es $\infty$

.

                                  Aplicación de logaritmos

Las propiedades de los logaritmos pueden ser útiles para calcular límites, sobre todo, cuando aparecen exponentes. Para ello, utilizamos la propia definición del logaritmo

De este modo,

ejemplo 

Tenemos la indeterminación infinito por cero. Sólo tenemos que escribir la $x$ que multiplica como un denominador:

De este modo, tenemos el límite $sin\left(0\right)/0$, que ya hemos visto varias veces que es $1$

De este modo, tenemos el límite $s$$i$$n$$($$0$$)$$/$$0$$sin(0)/0$, que ya hemos visto varias veces que es $1$

Ayuda: representación del coseno de $x$$x$, del arco de circunferencia con ángulo $x$$x$ y de la tangente de $x$$x$ en un circuncerencia de radio $R$$=$$1$$R=1$, siendo $0$$<$$x$$<$$\pi$$/$$2$

Como se observa en la representación, dado $0$$\le$$x$$\le$$\pi$$/$$2$$0\le x\le \pi /2$, se cumple

Como el seno es no negativo en dicho intervalo, podemos dividir entre el seno sin que cambien las desigualdades:
objetivo específico 

Como el coseno de $0$ es $1$, cuando $x$ tiende a $0$, necesariamente $x/sin\left(x\right)$ tiende a $1$ (por el teorema del emparedado)

• el estudiante conocerá las propiedad que caracterizan de una función de f(x) cuando se aproxima a un punto 
• saber leer o interpretar una gráfica de límites cuando g(x) cuando x=3

y aproximar un valor de limite en una tabla cuando se acerca a un punto  

conclusiones 

• en este blogger concluir finalidad de la importancia de los limite  de la función f(x) cuando x tiene a mas infinito cuando sea cual sea el valor del numero positivo es posible encontrar un numero real b tal que si x es mayor que b entonce la distancia entre f (x) y b menor que
• Uno de los análisis bases para una función es estudiar su continuidad y los valores en el que posiblemente ésta no exista. Por lo tanto, estudiar a la función en entornos reducidos de estos valores y observando el comportamiento de ella misma, es lo que llamamos límites de una función.

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee “cuando x tiende al valor a en la función”, es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a. 

mapa conceptual sobre límites

                                        hipervínculo

                            hipervínculo de mi blogger del la revista científica

                                                                     

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